はんこっていろんな呼び名がありますよね。このサイトでは「わかりやすく」「親しみやすく」を第一に考えて作っているので、ひとくくりに「はんこ」という呼び方をしています。でも本来のはんこの名前って本来それぞれにちゃんと意味があるんです。

-印章-
はんこ本体そのもののコトです。様々な印材を加工・成形して作られます。
-印-
印章または印影のことです、一定の権利・強制力を有します。
-判-
印章や印影なのですが、記号・情報としての機能しか持たないものです。
-印影-
押された結果（紙側）をいいます。
-印鑑-
本来は照合用の印影のことを指します。
印章を用いて、紙面に印影を残すことを押印（おういん）または捺印（なついん）と言います。
「契約書に押印 / 捺印する」などというように使用されますね。

ちなみに印章の側面にあるくぼみは「アタリ」または「サグリ」と言います。

印鑑という名称についてしばしば印章（はんこ本体）と混同して呼ばれることがあります。でも厳密には実印や銀行印などあらかじめ取引先に届け出ている印影を印鑑と呼ぶんですね。
便宜上、この登録の際に使用した印章も含めて印鑑と呼ぶこともありますが、何の届出をしていない印章まで印鑑と呼ぶのは避けるべきなのかもしれませんね。